☛ Montrer que deux droites sont perpendiculaires

Énoncé

Dans un repère orthonormé de l'espace, soit  $\text{A}(5;4;0)$ ,  $\text{B}(4;0;-6)$  et  $\text{C}(1;2;2)$ . Justifier que le triangle  $\text{A}\text{B}\text{C}$  est rectangle en  $\text{A}$ .

Solution

On calcule les coordonnées des vecteurs  $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}$  et  $\overrightarrow{\text{A}\text{C}}$  puis on vérifie que leur produit scalaire vaut $0$ .
D'une part,  $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}\left(\begin{array}{c}-1\\ -4\\ -6\end{array}\right)$  et  $\overrightarrow{\text{A}\text{C}}\left(\begin{array}{c}-4\\ -2\\ 2\end{array}\right)$ .
D'autre part,  $\overrightarrow{\text{A}\text{B}}\cdot \overrightarrow{\text{A}\text{C}}=(-1)\times (-4)+(-4)\times (-2)+(-6)\times 2=4+8-12=0$ .
Conclusion : les vecteurs sont orthogonaux, donc le triangle   $\text{A}\text{B}\text{C}$  est rectangle en  $\text{A}$ .