☛ Montrer que deux droites sont perpendiculaires

Énoncé

Dans un repère orthonormé de l'espace, soit  \(\text A(5~;~4~;~0)\) ,  \(\text B(4~;~0~;-6)\)  et  \(\text C(1~;~2~;~2)\) . Justifier que le triangle  \(\text A\text B\text C\)  est rectangle en  \(\text A\) .

Solution

On calcule les coordonnées des vecteurs  \(\overrightarrow{\text A\text B}\)  et  \(\overrightarrow{\text A\text C}\)  puis on vérifie que leur produit scalaire vaut \(0\) .
D'une part,  \(\overrightarrow{\text A\text B} \begin{pmatrix}-1\\-4\\-6\end{pmatrix}\)  et  \(\overrightarrow{\text A\text C} \begin{pmatrix}-4\\-2\\2\end{pmatrix}\) .
D'autre part,  \(\overrightarrow{\text A\text B}\cdot\overrightarrow{\text A\text C} = (-1)\times (-4)+(-4)\times (-2)+(-6)\times 2=4+8-12=0\) .
Conclusion : les vecteurs sont orthogonaux, donc le triangle   \(\text A\text B\text C\)  est rectangle en  \(\text A\) .